由不变因子得到极小/特征多项式

不变因子不只是分类工具——它们让你几乎不费力就把极小多项式和特征多项式直接读出来。一旦你有了链 f1 | f2 | … | fk，算子最重要的两个多项式就摆在那里。

规则很干净。特征多项式是全部不变因子的乘积：charpoly = f1 f2 … fk（其次数因而是维数 n，因为各次数相加）。极小多项式是那个最大的不变因子：minpoly = fk。fk 能被其余所有整除，正是它零化每个循环零件、从而零化整个 V 的原因。

这让几条经典事实变得透明。极小多项式整除特征多项式（fk 整除乘积）——这就是凯莱-哈密顿定理，一眼读出。极小与特征多项式有相同的不可约因子（fk 里的每个素因子也出现在乘积中），解释了它们为何共享相同的根，即特征值。而算子是循环的（无亏的），当且仅当只有一个不变因子，即 minpoly = charpoly。

一个值得点明的微妙处：极小与特征多项式本身一般并不决定相似类——它们只钉住最大的不变因子和总次数。要知道一切，你需要完整的链 f1、…、fk。两个不相似的算子可以共享极小和特征多项式，却在中间的因子上不同。