循环子空间

从单个向量 v 出发，不停地用 T 作用它：你得到 v、Tv、T^2 v、T^3 v，如此下去。这整条轨道的张成就是 v 生成的循环子空间。它是包含 v 的最小不变子空间——你不可能把 v 放进一个不变子空间里却不把它所有的 T 像也拖进来。

记作 Z(v, T) = span{ v, Tv, T^2 v, ... }。因为 V 是有限维的，这些幂迟早线性相关：存在最小的 k，使 T^k v 是 v、Tv、…、T^(k-1) v 的组合。于是 v、Tv、…、T^(k-1) v 构成 Z(v, T) 的一组基，而那条多项式关系正是 T 限制到该子空间上的极小多项式。

在基 v、Tv、…、T^(k-1) v 下，T 的限制长得像一个友矩阵，这是有理典范形的基本积木。所以循环子空间是一种不离开基域就分解算子的办法——不需要特征值，也不需要扩域。要注意：算子在整个 V 上是循环的，当且仅当它的极小多项式与特征多项式相等。