自由模与秩

自由模是行为最像向量空间的模：它有一组基。具体地说，环 R 上的自由模是 R 自身若干份的直和 R^r，任何元素都是标准生成元的唯一 R-组合。份数 r 就是秩——维数的模类比。

在 PID 上秩是良定义的：自由模的任意两组基大小相同，所以 r 是真正的不变量，正如向量空间的维数。自由模恰好就是无挠的有限生成模；在结构定理中，R^r 是与循环挠直和项并列的自由部分。

它在这里为何重要，以及一个干净的妙语：在算子情形下 V 是一个完全为挠的有限生成 F[x]-模（凯莱-哈密顿杀光一切），所以它的自由秩为零。根本没有 R^r 部分——V 纯粹是循环挠模之和，这正是有限维算子完全分解成友矩阵块或约当块、毫无剩余的原因。

为保持类比诚实的一点提醒：在一般环上秩可能失常（某些环允许 R^m 同构于 R^n 而 m 不等于 n），且无挠不总蕴含自由。PID 假设才恢复了像向量空间那样的干净行为——而这恰恰是 F[x] 满足的假设。