限制映射

限制映射是从子群的视角观看群上同调的自然方式。若一个上闭链是为大群所有元素定义的规则，你可以干脆忘掉子群之外的元素、只保留子群上的规则。这种遗忘操作尊重上闭链与上边缘，故下降为上同调群之间的同态，从整个群降到子群。

给定群 G、子群 H，与 G 模 A（通过限制作用它也是 H 模），限制是上链上由“把 G^n 上的函数限制为 H^n 上的函数”所诱导的同态 res : H^n(G, A) -> H^n(H, A)。它是函子性的，且与连接同态交换，故给出长正合序列之间的映射。限制是膨胀–限制机制的一半；另一半膨胀，对一个商沿相反方向进行。

一个核心结构事实是：当 [G : H] 有限时，存在沿相反方向的转移（corestriction/transfer）映射 cor : H^n(H, A) -> H^n(G, A)，满足 cor ∘ res = 乘以 [G : H]。这迫使有限 G 的 H^n(G, A) 被群阶零化（取 H = 1），并支撑把上同调归约到西罗子群的标准做法：H^n(G, A) 的 p 准素部分单射进 H^n(P, A)，其中 P 是西罗 p 子群。