膨胀映射

膨胀是把上同调从商群提升到整个群的自然方式。若你有一个正规子群 N 与一个定义在商 G/N 上的上闭链，便可通过简单地与投影 G -> G/N 复合，把它拉回到整个群——G 的每个元素被要求按它所落入的陪集行事。这种拉回把商上的上闭链变成 G 上的上闭链，从而诱导上同调上的映射，方向与限制相反。

确切地说，设 N 是 G 的正规子群，A 是 G 模。不动子模 A^N 是商 G/N 上的模。膨胀是上链上由商映射 G -> G/N 连同包含 A^N -> A 所诱导的同态 inf : H^n(G/N, A^N) -> H^n(G, A)。它是函子性的，且如限制一样与长正合序列及上积相容。

膨胀与限制嵌入膨胀–限制正合序列，这是从 H^*(G/N, -) 与 H^*(N, -) 计算 H^*(G, A) 的林登–霍赫希尔德–塞尔谱序列最简单的片段。在低次它读作 0 -> H^1(G/N, A^N) -> H^1(G, A) -> H^1(N, A)^{G/N} -> H^2(G/N, A^N) -> H^2(G, A)，正合，最后一个映射是超渡映射。这个五项序列是本学科最常用的计算工具之一。