转置的秩

这是第一门课中最不动声色却最惊人的事实之一：一个矩阵与它的转置秩相同。等价地说，列空间的维数等于行空间的维数——列秩等于行秩。仅凭元素本身，看不出行与列为何应当一致，然而它们总是一致。

对偶几乎不用计算就解释了缘由。对线性映射 T : V -> W，其转置 T* : W* -> V* 满足 rank T = rank T*。理由：T* 的像是 T 的核的零化子（在典范等同之下），于是借 dim U + dim U^0 = dim V 计数维数，便迫使两个秩相等。

用矩阵来读：rank T 是 A 的列秩（列空间维数），而 rank T* 是 A^T 的列秩，也就是 A 的行秩。于是“rank T = rank T*”一经翻译，就字面地是“列秩 = 行秩”。行与列那神秘的对称，不过是一个映射与其对偶的对称。

这正是认真对待对偶的回报：一条看似计算巧合的定理，变成了一行字的结构性推论。它还能干净地推广到无限维、以及没有方便矩阵的映射上，那里初等行化简的论证根本不适用。