线性映射的转置

每个线性映射 T : V -> W 都诱导出一个在对偶之间反向运行的映射，称为它的转置（或对偶映射）T* : W* -> V*。其配方是前复合：给定 W 上的泛函 g，你先作用 T 再作用 g，便得到 V 上的一个泛函。用符号写，T*(g) = g 与 T 的复合，故 (T*g)(v) = g(T v)。

仔细看箭头方向：T 走 V -> W，而 T* 走 W* -> V*。取对偶会翻转箭头。这不是记账上的怪癖，而正是“测量输出”的含义。若 g 测量 W 中之物，则 g-接-T 测量 V 中之物，即“先作用 T，再测量”。

当你把一切都写在对偶基下时，T* 的矩阵恰是 T 的矩阵 A 的转置 A^T。于是“把矩阵沿对角线翻折”这一不起眼的操作，被揭示为一种不依赖坐标、不依赖基的构造。转置一直都是个真正的映射；翻折后的矩阵不过是它的影子。

转置与复合及恒等配合良好：(S T)* = T* S*（注意次序颠倒），且恒等映射的转置仍是恒等。这些函子性法则让你能一次性对整张映射图取对偶，四子空间对偶与各秩相等便由此落地。