本原环

从双边理想的角度看，单环是不可分的，但这条件有时太强，无法直接套用于表示论中出现的环。本原环恰好把它放松到位：不再要求没有理想，而是要求一个忠实单模——一个不可约表示，其中环的任何非零元都不作用为零。本原环就是能在某物上忠实且不可约地作用的环，是域作用于一条直线的非交换替身。

确切地说，环 R 是（左）本原的，若它有一个忠实单左模 M；忠实意指 R 中湮灭整个 M 的元素只有 0，单意指 M 除 0 与 M 外没有子模。等价地，R 有一个不含非零双边理想的极大左理想。每个单环都是本原的，每个本原环都是素的，所以本原性严格介于二者之间。

本原环的结构由雅各布森稠密定理刻画，这是此处的非交换皇冠明珠：本原环作为除环 D = End_R(M) 上的线性变换环，在其忠实单模 M 上稠密地作用，意即作用的任何有限片段都能由 R 中某元素匹配。当 M 在 D 上有限维时，这迫使 R 成为全矩阵环 M_n(D)，从而在单阿廷情形还原阿廷–韦德伯恩。

本原性是雅各布森根的概念核心：任何环的根恰是所有单模的湮灭子之交，等价地是到一切本原商环的映射之核的交。所以一个环“像半单”恰当它有足够多的本原商来分离其元素，而本原环是探测根所经由的不可约靶子。