忠实表示

忠实表示是不丢失群的任何信息的表示：不同的群元素总以不同的线性映射作用。忠实性让你把抽象的群具体地“看作”一个矩阵群，毫无塌缩——它是群到矩阵群的一次诚实嵌入。

正式地，表示 rho: G -> GL(V) 称为忠实，若 rho 作为同态是单射，等价地若其核平凡：rho(g) = 恒等迫使 g = e。由于任何表示的核都是 G 的正规子群，一个表示忠实当且仅当该正规子群为 {e}。相反，平凡表示是最大限度不忠实的——除平凡群外，其核为整个 G。

每个有限群都有忠实表示：正则表示就是忠实的，因为若 g 在群代数上作为恒等作用，则 g 乘 e = e 迫使 g = e。更经济地说，忠实复表示未必不可约，而忠实表示的最小次数是一个微妙的不变量；例如非循环的阿贝尔群没有忠实的不可约表示，因为阿贝尔群的不可约复表示都是一维的、其像因而循环。