正交群

正交群收集了空间的每一个使形式保持不变的线性运动——即长度与角度的对称。对 R^n 上的普通点积，这些就是旋转与反射，是固定原点的刚体运动。对一般的二次形式，它们是保持其取值的线性映射，是那个几何的‘等距’。

给定二次空间 (V, Q)，正交群 O(Q) 是满足对一切 v 有 Q(g v) = Q(v)（等价地对极形式有 B(g u, g v) = B(u, v)）的可逆线性映射 g : V → V 之集合。在坐标下，若 Q 的对称矩阵为 A，则它是矩阵群 { g : g^T A g = A }。它在复合下成群：恒等保持 Q，两个等距之复合仍为等距，等距之逆仍为等距。

当 A = I 时，这就是经典的实正交矩阵群 O(n)，O(n) = { g : g^T g = I }；行列式为 1 的子群是特殊正交群 SO(n)，即旋转。对不定的实形式，得到诸如 O(p, q) 的群，例如洛伦兹群 O(3, 1)。在有限域上它们成为李型有限群，许多单群作为其导出子群出现，从而把二次形式与有限单群分类联系起来。