型的正交基

双线性型 B 的正交基是一组基 e_1, ..., e_n，其中不同的基向量在 B 下正交：当 i != j 时 B(e_i, e_j) = 0。要点在于，在这样的基下型的矩阵是对角的——所有非对角的交叉项都消失——于是二次型变成干净的平方和 d_1 x_1^2 + ... + d_n x_n^2。找到这样一组基，就是把型对角化。

要小心：“对型正交”不等同于“在通常点积下正交”。这些向量不必有单位长度，不必看上去互相垂直——它们只需在 B 下配对为零。所以这是一个相对的概念：正交永远是相对于某个选定的型而言，对一个型正交的基对另一个型一般是斜的。

构造方法是适配于型的 Gram-Schmidt。你挑一个 B(e, e) != 0 的向量，把空间其余部分对它作 B-正交投影，再对所剩部分递归。这对任何特征非 2 数域上的对称双线性型都奏效，从而证明核心存在定理：每个对称型都有正交基，故可由合同对角化。

型版本揭示了一个点积所掩盖的微妙之处：你可能碰上一个 B(e, e) = 0 的向量（迷向向量），无法归一化、甚至无法从它出发开始投影。补救是换入另一个向量，或使用一对双曲对；迷向向量之所以存在，恰因为这里允许不定型与退化型，不同于严格为正的内积情形。