合同

两个方阵 B 与 C 称为合同的，若存在可逆矩阵 P 使 C = P^T B P。这是双线性型“相同”的正确概念：B 与 P^T B P 表示的是同一个型，只是写在两组不同的基下而已。合同是型世界里相似的对应物，而相似（把 P^T 换成 P^-1）是算子世界的正确概念。

合同之所以正确，直接来自换基法则。若用 x = P x' 重新表示向量（新坐标 x'），则 x^T B x = (P x')^T B (P x') = x'^T (P^T B P) x'。所以型在新基下的矩阵恰为 P^T B P。因此任何你称之为“型的”性质，都必须是合同不变量，即把 B 换成 P^T B P 时保持不变。

合同是等价关系——自反、对称、传递——故它把所有对称矩阵划分成若干类，而对这些类进行分类正是本领域的目标。在复数上，对称矩阵合同于一个前 r 个对角位置为 1、其余为零的矩阵，故单凭秩就是完整不变量。在实数上你还需要秩与符号：那就是西尔维斯特惯性定律。

切勿把合同与相似混淆。特征值是相似不变量，但它们并非合同不变量——合同可以改变对称矩阵的特征值，而只保留特征值的符号。经合同存活下来的恰是符号差，而非谱。把这两种关系混为一谈，是整章中最常见的 Vol II 错误。