符号差

实对称型的符号差是三元组 (p, q, z)：当你把它对角化时，p 是正平方的个数，q 是负平方的个数，z 是零系数的个数。西尔维斯特惯性定律保证这些计数与你如何对角化无关，故这个三元组是型真正的属性，而非任何特定基的属性。

这三个数是实对称型的完整不变量：两个实对称矩阵合同当且仅当它们有相同的符号差。所以在实数上，把二次型按合同分类已经完成——只需读出 (p, q, z)。秩为 p + q（非零平方的个数），而 z = n - 秩，所以三个数中其实只有两个是自由的。

许多资料把符号差报成单个数 p - q，即正项超出负项的盈余，尤其当型非退化（z = 0）使得仅凭 p 与 q 就确定一切时。两种约定都常见；读书时务必弄清作者指哪一个。在物理中，时空度规的符号差 (+,-,-,-) 正是这个想法，其中 p = 1、q = 3。

符号差从何而来值得一提：它等于对称矩阵 B 的正、负、零特征值的个数。合同打乱实际的特征值，却不能改变它们的符号，故特征值的符号与符号差是同一份数据。这座桥——特征值你能算、符号差你能解释——正是主轴定理要紧的原因。