二次曲线/二次曲面分类

平面上的二次曲线（椭圆、抛物线、双曲线）与空间中的二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面、锥面、柱面）都是某个二次方程的零点集。其二次部分是一个二次型 x^T B x；主轴定理把它的交叉项旋转掉，所得平方系数的符号——即符号差——告诉你得到的是哪一种命名形状。

在两个变量中，把纯二次部分对角化后，你读两个系数的符号。同号给出椭圆（符号差 (2,0) 或 (0,2)）；异号给出双曲线（符号差 (1,1)）；缺失一个平方（一个零系数，即二次部分退化）再配上一个保留的一次项，给出抛物线。决定类型的是特征值的符号，而非其大小。

在三个变量中，同样的想法扩充了菜单：符号差 (3,0) 是椭球面，(2,1) 是双曲面（按常数项不同分单叶或双叶），一个零特征值配上恰当的一次项给出抛物面，等等。剩下的一次项与常数项只是平移和挪动曲面；二次型的符号差定下根本形状。

对完整流程要诚实：分类一般的二次曲线或曲面还需处理一次项与常数项，用 (n+1) 乘 (n+1) 的增广矩阵及其秩最为干净，借以区分真正的曲线与退化情形（一个点、一对直线、空集）。但要点在于：二次部分的符号差是为几何命名的首要不变量。