定性

定性问的是关于二次型最简单的问题：当 v 取遍非零向量时，Q(v) 取什么符号？正定指对每个非零 v 都有 Q(v) > 0（型是真正的“平方长度”）；负定指总有 Q(v) < 0；不定指 Q 取两种符号。碗、倒扣的碗、马鞍，就是要随身携带的三幅图像。

中间还有两个更温和的情形。半正定指对所有 v 有 Q(v) >= 0，允许在某个子空间上取零；半负定是其镜像。半定是临界的边界情形：型在某整个方向上触底为零却不再下探——恰是优化中退化临界点的情形。

用符号差 (p, q, z) 来说，对照精确：正定是 (n, 0, 0)；负定是 (0, n, 0)；半正定是 q = 0 的 (p, 0, z)；只要 p > 0 且 q > 0 就是不定。等价地，定性可直接从对称矩阵特征值的符号读出：全正、全负、混合，或含若干零。

正是这个概念让二次型在微积分与优化中有用。函数的 Hessian 是一个对称矩阵；它在临界点的定性告诉你是极小（正定）、极大（负定）还是鞍点（不定）。半定情形是无法定论的那种，二阶导数检验失效，你必须再深究。西尔维斯特判据为正定情形给出一个行列式检验。