西尔维斯特判据

西尔维斯特判据是一个判定正定的快速行列式检验：实对称矩阵 B 正定当且仅当它所有的顺序主子式都严格为正。k 阶顺序主子式是 B 左上角 k 乘 k 子块的行列式，所以你依次检验 1x1 角、2x2 角，直到完整的 n 乘 n 行列式——而它们必须全部为正。

其魅力在于你完全不必计算特征值。特征值要求解根；顺序主子式只需 n 个行列式，且有漂亮的递推（这些行列式与对称高斯消元的主元相关，那些主元也都必须为正）。当你必须手算证明正定、或在代码中快速判定时，它是主力检验。

两条警告让人不致出错。其一，此检验只判正定；要判负定，对 -B 施用，这会使 B 的顺序主子式从负号开始正负交替。其二——著名的陷阱——检验主子式不能推广到半定情形。一个矩阵可以所有顺序主子式 >= 0 却仍非半正定；标准反例是 [0, 0; 0, -1]，其顺序主子式为 0 与 0，却并非半定。

正确的半定版本使用全部主子式，而非仅仅顺序（左上嵌套）的那些：B 半正定当且仅当每个主子式——任意对称地选取行与列后所得子块的行列式——都非负。这工作量大得多，这正是为何干净的顺序主子式捷径只保留给严格正定情形。