主轴定理

主轴定理说：任何实二次型都能通过正交换元对角化——一次刚性的坐标轴旋转（可能带反射），不含拉伸。存在对称矩阵 B 的一组特征向量构成的标准正交基，在其中 Q 化为 lambda_1 y_1^2 + ... + lambda_n y_n^2，而这一次系数正是 B 的特征值。

这是谱定理的化身。因为 B 是实对称的，谱定理给出一个正交矩阵 P（故 P^T = P^-1）使 P^T B P = diag(lambda_i)。这里的奥妙在于 P^T B P 与 P^-1 B P 重合——当 P 正交时，合同与相似恰好一致。所以这一次刚性换基同时对角化了算子与型。

几何上的回报是二次曲线或二次曲面的“主轴”。对椭圆 x^T B x = 1，B 的特征向量指向长轴与短轴方向，特征值定下轴长（半轴 = 1/sqrt(lambda)）。旋转到特征基，就把一个倾斜的、带交叉项的方程变成轴对齐坐标方向的教科书标准形。

请仔细将它与单纯的合同对角化对比。配方法用任意可逆 P，只固定系数的符号（符号差）；主轴定理则坚持 P 正交，并还原出真正的特征值，保持长度与角度。你为这份额外的刚性所付的代价，是要求数域为实数且型为对称。