二次型的对角化

对二次型对角化，是指换元使它变成纯粹的平方和与平方差、没有交叉项：Q = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + ... + d_n y_n^2。用矩阵语言说，就是找一个可逆 P 使 P^T B P 对角。交叉项 x_i x_j 恰是 B 的非对角元，所以消去它们等同于用合同把矩阵对角化。

动手的方法是配方法，就是中学代数那招推广到多个变量。把含 x_1 的所有项归拢，凑成完全平方 (x_1 + 某式)^2，减去多出来的部分，重命名，再对剩下的变量重复。每一步都是可逆换元，这些换元累乘的结果就是矩阵 P。

这与算子的对角化确实不同。那里你要求 P^-1 B P 对角（相似、特征向量、特征值）；这里你要求 P^T B P 对角（合同）。你最终落到的对角元并不是 B 的特征值——它们可被任意非零数的平方自由缩放。被迫确定的只有它们的符号，这正是西尔维斯特惯性定律的内容。

由于你有缩放的自由，对角形式远非唯一：y -> y/sqrt(|d|) 把每个非零系数变成 +1 或 -1，得到带 +1、-1、0 的标准平方和。每种数目是你唯一无法改变的东西——见符号差。任何特征非 2 的数域上的对称型都总能这样对角化；其正交（刚性）版本就是主轴定理。