西尔维斯特惯性定律

西尔维斯特惯性定律说：当你把一个实二次型对角化为带符号的平方和时，正系数的个数、负系数的个数、零的个数，无论你用了哪种对角化换元都相同。各个系数本身并不被锁定——你可以缩放它们——但把它们的符号数一数，却是铁打的不变量。

用矩阵叙述：若实对称矩阵 B 合同于两个对角矩阵，则这两个对角阵的正元、负元、零元个数相同。所以合同可以自由地挪动对角值，却绝不能把一个正号变成负号，也不能凭空制造或消灭一个零。这三个计数才是合同真正记住的东西。

证明是一个干净的维数计数论证。设型在某个 p 维子空间上为正，而另一种对角化给出 p' 个正项且 p' < p；那么 p 维的正子空间与 n - p' 维的非正子空间，其维数之和超过 n，迫使存在一个非零的公共向量，它既正又非正——矛盾。故 p = p'，对负项同理。

正是这条定理让“符号差”成为一个合法概念，而非记账的偶然产物。没有惯性定律，两个人按不同次序配方法可能报出不同答案；惯性定律保证他们在唯一要紧的事上一致。它是相对论中度规符号差的线性代数祖先，那里 (+,-,-,-) 的划分之所以有物理意义，恰恰因为它无法被坐标改变。