双线性型

双线性型是一台机器 B，它吃进两个向量、返回一个标量 B(u, v)，并且对每个槽位分别是线性的。对第一个槽位线性是指 B(a*u1 + b*u2, v) = a*B(u1, v) + b*B(u2, v)；对第二个槽位线性是关于 v 的对称说法。“双线性”不过就是“两次线性”——固定一个输入，你在另一个输入上得到一个普通的线性泛函。点积是最亲切的第一个例子：B(u, v) = <u, v>。

一旦固定一组基 e_1, ..., e_n，双线性型就被一个矩阵完全刻画。令 B_ij = B(e_i, e_j)；那么对任意以列向量坐标表示的 u 与 v，便有干净的公式 B(u, v) = u^T B v。把 u^T B v 乘开，确实还原出双重和 sum_i sum_j u_i B_ij v_j，所以这个 n 乘 n 矩阵 B 装下了全部信息。

麻烦之处——也是整个领域的核心——在于 B 依赖于你所选的基。用可逆矩阵 P 换基（新基 = 旧基乘 P），矩阵就变成 P^T B P，而不是 P^-1 B P。这个 P^T 而非 P^-1 正是把型与算子区分开的关键：线性算子按相似变换，双线性型按合同变换。把两者混为一谈是 Vol II 的经典错误。

先把 B 保持一般：任意双线性型不必对称、也不必反称。每个这样的 B 都唯一地分裂成对称部分与交替部分，S(u,v) = (B(u,v)+B(v,u))/2 与 A(u,v) = (B(u,v)-B(v,u))/2，至少当 2 在数域中可逆时如此。二次型只能看见其中的对称部分，这正是对称型独占关注的原因。