对偶配对

对偶配对是把一个泛函与一个向量合成一个数的、最简单不过的方式：直接求值。写成 <f, v> = f(v)，左边是 f in V*，右边是 v in V。它是两个空间之间的典范桥梁，且不同于内积，它无需任何额外结构——它本就内建于对偶之中。

它是双线性的，即对每个槽分别线性：<f + g, v> = <f, v> + <g, v> 且 <f, a*v> = a*<f, v>，另一侧亦然。这让它看起来、用起来都像内积，但它配对的是两个不同的空间（V* 与 V），而非一个空间与自身，所以没有 <f, f> 或“长度”的概念。

它的决定性性质是非退化：若对每个 f 都有 <f, v> = 0，则 v = 0；若对每个 v 都有 <f, v> = 0，则 f = 0。哪一侧都没有另一侧探测不到的“盲点”。非退化恰是求值映射成为单射的原因，也驱动着每一条对偶定理。

一旦采用这个括号，各种陈述便获得令人愉悦的对称。转置由 <g, T v> = <T* g, v> 定义，把 T 从配对的一侧移到另一侧；零化子 U^0 是那些对所有 u in U 满足 <f, u> = 0 的 f。整套理论就是用一个诚实的括号来记账。