线性泛函

线性泛函是一种线性映射，它吃进一个向量、吐出一个标量：f : V -> F，其中 F 是数域（可想成 R 或 C）。它是你能对向量做出的、最简单且尊重向量空间结构的“测量”，也就是说对所有标量 a、b 与向量 u、v 都有 f(a*u + b*v) = a*f(u) + b*f(v)。

具体地说，一旦固定坐标，每个泛函就只是各分量的加权和：f(x) = c_1*x_1 + ... + c_n*x_n。所以泛函就是一行数字，等着与一列数字配对。例子有：“读出第三个坐标”、“把各分量相加”、“在 0 处求多项式的值”，或是把函数映成其平均值的积分。

泛函是对偶的原子。这里所有更丰富的对象——对偶空间、对偶基、转置、零化子——都是由它们搭建出来的。相对于第一门课，关键的观念转变是：把“测量一个向量”本身也当成一个事物，它生活在自己的向量空间里，与被测量的向量地位平等。

注意：在无限维中，并非每个线性映射 V -> F 都连续，而分析学家通常只要连续的那些（拓扑对偶）。在有限维中这个区别消失了——每个线性泛函都自动连续——所以这里“泛函”就指“到标量的线性映射”。