余向量

余向量就是对偶空间的一个元素——一个线性泛函——但这个名字标示了一种视角：它是与向量“相反类型”的对象。向量是一列、可想成箭头；余向量则是一行，应想成一摞被向量刺穿的平行等位面。把向量喂给余向量，数的是箭头穿过了多少层面。

其定义性的行为在于它如何变换。换基时若使向量的坐标乘以某矩阵 P，则余向量的分量要乘以逆转置 (P^-1)^T。向量与余向量逆向变换，这正是前缀“余/逆”的全部缘由：它们随对偶基协同变化、与原基逆向变化。

正是这种相反的变换，使配对 <f, v> = f(v) 保持为一个不依赖基的数。若向量在改单位时放大，余向量就必须以相匹配的因子缩小，于是它们的乘积不变。余向量就是这样一种东西：它与向量的配对是一个诚实的、不依赖坐标的量。

一旦留意，熟悉的余向量到处都是：梯度是余向量（它吃一个方向、返回方向导数），测量矩阵的一行是余向量，价格向量与数量向量作点积也是余向量作用于向量。把向量与余向量分作不同类型，能在几何、物理与优化中避免实实在在的错误。