协变与逆变

换基时，向量与泛函的变换方式并不相同，这两个词就命名了这两种模式。普通向量的分量逆变变换——与基相反——而泛函（余向量）的分量协变变换——与对偶基同向。要点在于它们朝相反方向移动，从而它们之间的配对保持不变。

说具体些。设新基向量是旧基向量经矩阵 P 组合而成（新者用旧者表示）。那么向量的坐标按 P^-1 变化（逆变：若把单位加倍，坐标就减半），而余向量的分量按 P^T 变化（协变）。这两条法则互为逆转置，这恰是一组基与其对偶基之间的关系。

幸存下来的“不变量”是配对：<f, v> = sum f_i v^i 在每组基下都是同一个数，因为来自向量的 P 因子与来自余向量的 P^-1 因子相消。不依赖坐标的实在，就是任何不随基改变之物，而配对正是其原型。

这是张量微积分的种子。物理学家把这两条变换法则编码为上指标（逆变、向量样）与下指标（协变、余向量样）；一般张量则二者兼有。把指标摆对上下，恰恰就是把向量与余向量分清——正是你一路在建立的那个区别，用上抬与下放的标号写出来罢了。