对偶基

给定 V 的一组基 e_1, ..., e_n，对偶基是 V* 上相匹配的一组泛函 e_1*, ..., e_n*，其中 e_i* 是读出第 i 个坐标的泛函。它由这条干净的法则钉死：e_i*(e_j) = delta_ij，即指标相同时返回 1、否则返回 0。

因此 e_i* 回答的是“这个向量里含有多少 e_i？”。若 v = a_1*e_1 + ... + a_n*e_n，则恰有 e_i*(v) = a_i。对偶基把“坐标”这个抽象概念变成了具体的泛函：坐标映射其实就是这组 (e_1*, ..., e_n*)。

这 n 个泛函构成 V* 的一组基，这正是 dim V* = dim V 的缘由。任何泛函 f 都可写成 f = f(e_1)*e_1* + ... + f(e_n)*e_n*：泛函由它在基上的取值决定，而这些取值就是它在对偶基下的坐标。

警告：对偶基是整组基的性质，而非单个向量的性质。哪怕只改动一个 e_j，也可能改变每一个 e_i*，因为每个 e_i* 都必须在所有其他基向量上取零。这种非局部性，正是协变量在换基下与向量“逆向”变换的根源。