对偶空间

V 的对偶空间记作 V*，是 V 上所有线性泛函的集合。令人惊讶的是，这个集合本身就是一个向量空间：你可以把两个泛函相加，(f + g)(v) = f(v) + g(v)，也可以缩放一个泛函，(a*f)(v) = a*f(v)。所以“对 V 的所有测量构成的空间”是一个货真价实的向量空间，与 V 并肩而立。

在有限维中，V* 与 V 的维数完全相同。若 V 有基 e_1, ..., e_n，则 V* 有相匹配的对偶基 e_1*, ..., e_n*，故 dim V* = dim V = n。由于维数相等，V 与 V* 同构——但只有在你选定一组基之后才成立。没有任何天然的、不依赖基的方式把向量变成泛函，因此我们说这个同构不是典范的。

这是整个主题的核心微妙之处。V 与 V* 看起来相像（同维），却并非自然地相同；内积恰是那份额外数据，使你能典范地把它们等同起来，把 v 送到泛函 <v, ->。没有这份数据，向量与泛函就是两个物种。

在无限维中，这道鸿沟极为显著：V* 可能严格大于 V，而代数对偶可能远大于分析学家关心的连续对偶。把 V 与 V* 在脑中分开来想，一旦维数不再有限便会回报你。