超平面

过原点的超平面是单个非零线性泛函的核：满足 f(v) = 0 的向量 v 之集。它是子空间在不至于成为整个空间的前提下所能达到的最大者——余维一，即 dim V 减一。在 R^3 中超平面是寻常的平面；在 R^2 中是一条直线；在 R^n 中是一个 (n-1) 维的平直片层。

泛函与超平面几乎是同一份数据的两种看法。一个非零泛函 f 确定其核超平面，而两个泛函有相同的核当且仅当一个是另一个的非零标量倍。所以过原点的超平面与对偶空间中的方向——V* 中的直线——一一对应，而非与单个泛函一一对应。

把等位面挪离零，便得到仿射超平面：对常数 c，f(v) = c 是一个平行平移，不再过原点。整族 {f(v) = c : c in F} 把 V 层叠成一片片平行的薄层，而 f 测量你身处哪一层。这就是“泛函是一摞等位面”这幅图、以及线性约束与决策边界背后的图景。

超平面是对偶的几何面孔。用超平面把两个集合分开，就是用泛函把它们分开；凸体的支撑超平面，就是在该体边界上取得最大值的泛函。每当你见到线性约束 a^T x = b、分类器中的间隔、或经济学里的预算线，你看到的都是一个超平面，因而是一个余向量。