分离泛函

分离泛函是一种线性泛函，它通过给两个事物赋予不同（或异号）的值来把它们区分开。若 x 与 y 相异，则有某个 f 使 f(x) != f(y)；若两个凸集不相交，则有某个 f 与常数 c 把一集放在 f <= c 处、另一集放在 f >= c 处。这泛函在它们之间画出一张超平面。

有限维中的基本存在事实很初等：泛函可分点。对任意非零向量 v，存在 f 使 f(v) != 0——只需把 v 扩充成一组基，取相匹配的对偶泛函即可。这恰是求值映射的单射性，换句话说就是“没有哪个向量对一切测量都是隐形的”。

其凸版本是分离超平面定理：两个不相交的凸集（在温和条件下，例如一个紧、一个闭）可被某泛函严格分离。支撑泛函是边界情形——一张触及凸体、并把整个体留在一侧的超平面，恰在接触集上取得最大值。它们是凸优化、线性规划对偶与拉格朗日乘子的几何脊梁。

这一切都是 Hahn-Banach 定理的有限维投影；在无限维中该定理保证泛函仍能分离点与集，且有界泛函可从子空间延拓到整个空间。在有限维你能徒手得到这些保证；Hahn-Banach 则是那条深刻的定理，当维数计数不再够用时，它让这些结论依旧成立。