求值映射

求值映射是把向量变成双重对偶中元素的、不依赖基的配方。给定 V 中的 v，定义 ev(v) 为 V* 上的一个泛函，它在任意 f 上的取值就是 f(v)。用符号写：ev(v)(f) = f(v)：向量在那儿等着，无论哪个泛函过来，都把 v 喂给它。

两边都满足线性，这正是要害。ev 关于 v 线性（所以它是真正的线性映射 V -> (V*)*），且 ev(v) 关于 f 线性（所以它是 V* 上真正的泛函）。它还无需任何额外假设便是单射：若 v 非零，则有某个泛函把它与 0 分开，故 ev(v) 不是零泛函。在有限维中，单射加上维数相等就迫使它成为同构。

使它“典范”的，是我们自始至终没有选取基、内积或任何辅助数据——只用到了泛函的定义。这就是为什么每个线性映射都自动尊重它、为什么它与转置可交换，从而赋予对偶干净而无须选取的记账方式。

可随时用它来翻转视角：关于向量的陈述变成关于“作用在泛函上的泛函”的陈述，反之亦然。零化子的双重零化子定理，以及有限维空间的自反性，都不过是求值映射成为同构这一事实。