自反空间

当典范求值映射 V -> (V*)* 不仅是单射、还是同构时，向量空间称为自反——也就是说，V 通过那个自然、无须选取的映射等于自己的双重对偶。自反性是说“取两次对偶就能干净而典范地一路回到家”。

每个有限维空间都是自反的，没有例外。求值映射总是单射，而在有限维中 dim (V*)* = dim V* = dim V 迫使单射成为双射。所以对第一门课里的那些空间，V 与 (V*)* 干脆就是同一个；你可以毫不犹豫地把向量与“对其上的泛函求值”这一行为等同起来。

到了无限维，故事就变了，这正是这个词存在的全部理由。那里求值映射仍把 V 单射进 (V*)*，却可能不满：双重对偶可以严格更大。使其满的空间就是自反空间（在泛函分析中，用连续对偶：Hilbert 空间与 1 < p < infinity 的 L^p 是自反的；而 c_0、L^1 与 L-infinity 不是）。

为何在意？自反性使你能在一个空间与其双对偶之间自由往返，它支撑着驱动大量分析与优化的紧性与存在性定理（弱极限、极小元）。在有限维你免费得到这一切；自反性命名的，正是这里自动成立、日后却弥足珍贵的那条性质。