对称双线性型

对称双线性型是指两个输入的次序无关紧要的型：对所有 u, v 都有 B(u, v) = B(v, u)。点积以及每个内积都是对称的——交换你正在比较的两个向量，不应改变答案。正是这一条对称性条件使型具有几何意义，因为它让 B 能够一致地度量长度与角度。

用矩阵语言说，型的对称性恰好就是其矩阵的对称性：对所有 u, v 有 B(u,v) = B(v,u) 当且仅当 B^T = B。所以 F^n 上的对称双线性型与对称 n 乘 n 矩阵完全一一对应。合同变换保持这一点：若 B 对称，则 P^T B P 也对称，故“对称”是型的一个与基无关的性质。

对称型正是与二次型配对的那一类。由任一对称 B 可得二次型 Q(v) = B(v, v)，反过来极化又能从 Q 还原出 B。这种来回意味着研究对称双线性型与研究二次型其实是同一门学问的两个视角——而下面几乎一切（对角化、符号差、定性）都生活在这个世界里。

诚实提醒：对称型与二次型之间的等价需要 2 在数域中可逆，因为极化要除以 2。在实数与复数上这是自动成立的；而在特征为 2 的数域上，这套理论会真正分裂开来，许多教科书在本章里都默默假设 char != 2。