交替（反对称）双线性型

交替双线性型是与对称相反的极端：在型的眼里，每个向量都“与自身垂直”，即对所有 v 有 B(v, v) = 0。利用双线性把 B(u+w, u+w) = 0 展开，你立刻得到 B(u, w) = -B(w, u)，这就是赋予它另一个名字的反对称性。所以交替意味着矩阵反称，A^T = -A，且对角线上被迫为零。

几何上这些型度量的是有向面积，而非长度。原型是 2x2 行列式：B(u, v) = u_1 v_2 - u_2 v_1 是由 u 与 v 张成的平行四边形的有向面积，交换 u 与 v 时它变号，恰恰因为面积是有向的。这里没有“向量长度”的概念，这就是为何你无法由交替型造出二次型——Q(v) = B(v,v) 恒为零。

它们的分类异常干净。任何交替型都可经合同化为分块对角矩阵，由标准双曲 2x2 块 [0, 1; -1, 0] 排列、其后接一块零块组成。双曲块的个数等于秩除以二——所以交替型的秩永远是偶数，而单凭秩就是完整的合同不变量。这里没有符号差要操心。

用词上的注意：在特征为 2 的数域上，“交替”（B(v,v)=0）严格强于“反对称”（A^T = -A），因为那里 -1 = 1。在特征非 2 时两个概念重合，多数课程把这两个词互换使用。这些型中非退化的情形如此重要，以至于另有专名：辛型。