非退化型

一个双线性型称为非退化的，若唯一与一切都正交的向量是零向量——它的根基平凡。从正面说：对每个非零 v 都存在某个 w 使 B(v, w) != 0，所以型总能通过某个测试搭档“感知”到一个非零向量。内积是黄金范例，因为 B(v, v) > 0 已能察觉每个非零 v。

矩阵检验立竿见影：B 非退化当且仅当其矩阵可逆，当且仅当 det(B) != 0，当且仅当 rank(B) = n。所以非退化之于型，正如可逆之于算子——是“无所失、无所塌缩为零”的条件。相反，退化型有一个它看不见的核方向。

非退化之所以深刻要紧，是因为它在 V 与其对偶空间 V* 之间建立一个同构。每个向量 v 给出一个泛函 w -> B(v, w)；非退化说明这个对应 v -> B(v, -) 是单射，而在有限维中单射加维数相等就意味着它是同构 V -> V*。所以非退化型恰是把向量与余向量典范等同起来的那份额外结构。

这是张量分析与相对论中“升降指标”的抽象核心，也是内积空间里 Riesz 表示思想的核心。没有非退化型，V 与 V* 仅是大小相同却不被自然等同；有了它，二者便成为同一对象的两面。非退化是进入这一等同的入场券。