埃尔米特型

埃尔米特型是在复数上做二次几何的正确方式。它是半双线性的——对一个变量线性、对另一个变量共轭线性——且共轭对称：H(u, v) = H(v, u) 的共轭。标准复内积 sum x_i 乘 y_i 的共轭就是其原型。正是共轭挽救了正性：没有它的朴素复“点积”不会给出实的、非负的长度。

共轭对称自带一份回报：H(v, v) 永远是实数，尽管 H 一般取复值，因为 H(v,v) 等于它自身的共轭。这正是你要的，好让 ||v||^2 = H(v, v) 成为一个合理的（实的）平方长度。用矩阵语言说，埃尔米特型为 H(u, v) = u^* A v，其中 A 是埃尔米特矩阵，A^* = A（共轭转置等于自身），其对角元自动为实。

埃尔米特型有自己的一套惯性定律，是西尔维斯特定律的忠实翻版。埃尔米特矩阵合同于（现在经 A -> P^* A P）一个由 +1、-1、0 构成的对角阵，且计数 (p, q, z) 不变。所以“符号差”与“定性”原封不动地移植到复情形，而埃尔米特矩阵正定，恰当其所有特征值——必然为实——都为正时。

可把埃尔米特视为对称的复表亲：对称 : 实数 :: 埃尔米特 : 复数。谱定理升级为“每个埃尔米特矩阵都可酉对角化且特征值为实”，主轴定理使用酉换基，而 Vol I 的内积、范数、正性机器悉数重现，只是在恰当处插入了共轭。它是量子力学的基础，那里可观测量是埃尔米特算子。