辛型

辛型是既交替又非退化的双线性型：它满足对所有 v 有 B(v, v) = 0（交替），且根基平凡（非退化）。它是有向面积而非长度的几何——经典力学中相空间的自然结构，那里成对的（位置，动量）共处，而每一对中的面积被动力学所守恒。

两个事实把辛型钉得死死的。其一，它们只存在于偶数维：交替型的秩是偶数，而非退化迫使秩等于全维数，故 n 必为偶。其二，没有符号差来分类它们——在任何数域上，每个辛型在合适的基下都长得一样。给定维数的所有辛空间彼此同构。

那个典范模型就是标准辛矩阵 J，由双曲块 [0, 1; -1, 0] 沿对角线堆叠而成（等价于分块矩阵 [0, I; -I, 0]）。一组 Darboux 式的基把坐标分成共轭对 (q_i, p_i)，满足 B(q_i, p_j) = delta_ij 而其余配对全为零——这正是哈密顿方程的代数骨架。

保持辛型的线性映射构成辛群 Sp(2n)，它是保持对称内积的正交群在交替型上的表亲。正交映射保持长度与谱定理，辛映射则保持面积，并支撑哈密顿流、刘维尔定理以及大量现代几何。这个词条正是那整个世界的预告。