算子范数

如果一个有界算子拉伸向量，算子范数记录的就是它最坏情形下的拉伸——它曾施加过的最大放大。它回答：在所有输入方向上，这个算子最多能把一个长度放大多少？这个最坏情形恰好在算子有界时是一个有限数，并赋予整个算子空间自己的几何。

精确地说：对从 X 到 Y 的有界算子 T，算子范数为 ||T|| = sup（取遍 x != 0）of ||T x|| / ||x||，等价地是 ||T x|| 在所有单位向量 ||x|| = 1 上的上确界。它是 ||T x|| <= C ||x|| 中可用的最小 C。三条性质使它成为真正的范数乃至更多：它是范数，它满足次乘性（||S T|| <= ||S|| ||T||），且 ||I|| = 1。

为什么它在结构上重要：在这个范数下，从一个赋范空间到一个巴拿赫空间的有界算子本身构成一个巴拿赫空间。单个希尔伯特空间 H 上的有界算子在复合下构成一个巴拿赫代数，再配上伴随运算，它们成为一个 C* 代数，满足那条引人注目的恒等式 ||T^* T|| = ||T||^2。该恒等式把算子的代数与它们的范数紧紧绑在一起，是现代谱理论的基石。

一个要分清的警告：算子范数（也叫一致范数）只是算子上若干有用范数之一——其他还有迹范数和希尔伯特-施密特范数。按算子范数的收敛是强的；许多自然的算子序列在较弱意义下（强、弱）收敛却不按算子范数收敛。务必弄清指的是算子上的哪种拓扑。