紧算子

在无穷维空间的所有算子中，紧算子是最像普通矩阵的那一类。一个有限秩矩阵把一切挤进一个有限维的像里，那里有界集很好地是紧的。紧算子几乎做同样的事：它把任意有界集压成闭包为紧的东西。它是“几乎有限秩”这句话的无穷维说法。

精确地说：巴拿赫空间上的有界算子 T 是紧的，若单位球的像具有紧闭包——等价地，每个有界序列 (x_n) 都有一个子列使 (T x_n) 收敛。在希尔伯特空间上，紧算子恰好是有限秩算子的范数极限，所以一个紧算子可以被作用在有限维片段上的真矩阵任意好地逼近。

为什么它们如此重要：紧性正是拯救你在有限维所知的特征值理论的东西。对一个紧自伴算子，你会得到一个可数的实特征值集合，它们只能在 0 处聚集，并带有一组标准正交特征基——这是谱定理最干净的无穷维形式。带连续核的积分算子是紧的，这就是为什么紧算子在积分方程和弗雷德霍姆择一定理中处于中心地位。

一个尖锐的警告：无穷维空间上的恒等算子绝不是紧的，因为那里的单位球不是紧的（它的闭包不紧）。所以一般的有界算子可以彻底地不像矩阵——紧性是一个强而特殊的假设，大多数表现良好的谱结果都需要它。