有界算子

在有限维中，每个线性映射都自动连续，所以你从不需要想这件事。无穷维打破了这份馈赠：一个线性算子可以把某些方向拉伸得比别的方向多无穷倍，从而把连续性撕碎。有界算子就是不会这么干的算子——无论你喂给它哪个向量，它对长度的放大至多是一个固定倍数。对赋范空间之间表现良好的线性映射来说，“有界”是恰当的词。

精确地说：赋范空间之间从 X 到 Y 的线性算子 T 是有界的，若存在常数 C 使得对所有 x 都有 ||T x|| <= C ||x||。最小的这样的 C 就是算子范数 ||T||。根本的事实是：对线性算子而言，有界、连续、在 0 处连续三者等价——单单一条不等式就控制了整个映射。所以有界恰好就是连续，只是用定量方式表述。

为什么这是无穷维中正确的映射概念：无界线性算子存在且无处不在（微分是头号例子），但它们不可能连续，无法以任何可用方式定义在整个空间上，且行为狂野。把注意力限制在有界算子上，便恢复了一套干净的理论。从 X 到 Y 的有界算子的集合本身就是赋范空间，而当 Y 完备时它是巴拿赫空间。

一个提醒：不要把有界算子和有界函数混为一谈。有界算子作为函数几乎从不有界——喂给它更大的向量，||T x|| 就无限增长。这里的“有界”指比值 ||T x|| / ||x|| 保持有界，即算子有一个有限的放大系数。