巴拿赫空间

希尔伯特空间给你角度；巴拿赫空间放弃了角度，却保留了最本质的东西——一种可用的大小概念，永远不让序列漂出空间的边缘。它是一个完备的赋范向量空间。你能度量 ||v||，能做加法和数乘，而任何各项彼此挤得任意近的序列（柯西序列）都保证收敛到空间中真实存在的一点。

精确地说：巴拿赫空间是带范数 ||.|| 的向量空间 X，范数满足 ||v|| >= 0 且仅在 0 处取等、||c v|| = |c| ||v||，以及三角不等式 ||u + v|| <= ||u|| + ||v||——并且在度量 d(u,v) = ||u - v|| 下完备。这里没有内积，所以没有 <u,v>，没有自动的垂直概念，平行四边形法则也不一定成立。活下来的，是一切只用范数就能表述的东西。

为什么要费力去掉内积？因为分析学家关心的大多数空间根本没有自然的内积。带上确界范数的连续函数空间 C[a,b]、当 p != 2 时的序列空间 ell^p、当 p != 2 时的勒贝格空间 L^p——全是巴拿赫空间，没有一个是希尔伯特空间。泛函分析的几大定理（哈恩-巴拿赫、开映射、闭图像、一致有界）恰好就活在这个一般性层次上，需要完备性而不需要正交性。

与希尔伯特的关系：每个希尔伯特空间都是巴拿赫空间（忘掉内积，保留它的范数），但反之不然。一个巴拿赫空间恰好在它的范数满足平行四边形法则时才是希尔伯特型的——那条恒等式就是“内积在暗中生成了这个范数”的指纹。