平行四边形法则

在以 u、v 为邻边的平行四边形中，两条对角线为 u + v 与 u - v。该法则说：对角线平方之和等于四条边平方之和：||u + v||^2 + ||u - v||^2 = 2 ||u||^2 + 2 ||v||^2。它是勾股定理对称的表亲。

它在每个内积空间中都成立——只需用 <u + v, u + v> 展开两个平方，看交叉项相消即可。但更深刻的事实方向相反：一个范数满足平行四边形法则当且仅当它源自某个内积。这便是若尔当-冯·诺依曼定理。

这就把一个抽象问题——哪些范数暗中是内积范数？——化为一项你能动手检验的具体测试。出租车范数 ||x||_1 与最大值范数 ||x||_inf 都通不过它（取 u = (1,0)、v = (0,1) 验证即可），故二者皆不来自任何内积，无论多么巧妙。

一旦确认某范数通过了检验，极化恒等式便仅凭范数本身把内积显式交还给你。这两条定律是配对的：平行四边形负责检测，极化负责重建。