极化恒等式

范数似乎遗忘了方向——它只看得见长度。极化恒等式是惊人的逆转：在内积空间中，你能仅凭长度重建完整的内积，连同角度在内。从 <-,-> 走到 ||.|| 时，其实什么也没丢失。

在实数情形它写作 <u,v> = (||u + v||^2 - ||u - v||^2) / 4。用内积展开两个范数，对角项相消，剩下 4 <u,v>。复数情形需要更多：你还须用 i 来探测，得 <u,v> = (1/4) sum_{k=0..3} i^k ||u + i^k v||^2，即所谓四项公式。

复数公式更长的原因是共轭线性。范数的单个实组合无法分离 <u,v> 的实部与虚部；把 v 依次旋转 i、-1、-i 并以 i 的幂加权，才能将它们解开。

概念上这是平行四边形法则的搭档。平行四边形告诉你范数何时源自内积；极化告诉你如何把那个内积找回来。两者合起来表明：范数与内积携带完全相同的信息。