L^2 与 ell^2 空间

这些是希尔伯特空间的范本——R^n 的无穷维表亲，是每条抽象定理心里暗暗想着的那一个。ell^2 是平方相加为有限值的无穷序列 (x_1, x_2, x_3, ...) 所组成的空间。L^2 是平方模有有限积分的函数 f 所组成的空间。两者都自带一个内积，它就是为无穷多个分量写出来、再求和或求积分的点积。

精确地说：ell^2 由满足 sum |x_n|^2 < infinity 的序列组成，内积为 <x,y> = sum x_n conj(y_n)。L^2(E) 由 |f|^2 积分有限的可测函数（的等价类）组成，内积为 <f,g> = integral of f conj(g)。这条有限性条件，经由柯西-施瓦茨，正是使 <.,.> 有定义的原因。两者都完备——这对 L^2 而言就是深刻的里斯-费舍尔定理——所以两者都是货真价实的希尔伯特空间。

为什么它们是范本：每个可分的无穷维希尔伯特空间都等距同构于 ell^2。取一个完备标准正交系，把每个向量送到它的系数序列，你就恰好落在 ell^2 中且范数不变（帕塞瓦尔）。所以 ell^2 不只是个例子——在重新贴标签的意义下，它是唯一的可分无穷维希尔伯特空间。L^2 则是傅里叶分析、信号处理、概率论（L^2 随机变量）以及量子力学态空间的自然舞台。

一个值得尊重的微妙之处：L^2 的元素其实不是函数，而是除一个测度为零的集合外彼此相等的等价类。两个仅在单点、或仅在有理数上不同的函数，是 L^2 中的同一个元素。这是完备性的代价——逐点的取值没有意义，只有积分量才有意义。