希尔伯特空间

把你在带点积的 R^n 中喜爱的一切——长度、角度、正交投影、勾股定理——拿出来，然后问：当维数有无穷多个时，这些还能全部保留吗？希尔伯特空间就是答案。它是一个带内积 <u,v> 的向量空间，内积给出范数 ||v|| = sqrt(<v,v>)，再加上一个额外要求：空间是完备的。正是这条完备性，使得无穷展开真的能收敛到一个仍在空间内部的点。

精确地说：希尔伯特空间 H 是一个内积空间，并且在度量 d(u,v) = ||u - v|| 下完备，即每个柯西序列都在 H 中有极限。内积免费送给你全部有限维几何：柯西-施瓦茨不等式 |<u,v>| <= ||u|| ||v||、平行四边形法则，以及当 <v,w> = 0 时的正交性 v perp w。完备性是新成分——没有它，几何里就有你会掉进去的洞。

为什么重要：在希尔伯特空间里，第一门课中最好的结论都原封不动地活了下来。闭子空间有正交补，每个向量都唯一地分解为一个投影加一个垂直余项，而且存在可供展开的标准正交基。这是傅里叶级数、量子力学以及无穷维最小二乘的自然家园。有限维内积空间自动完备，所以它们每一个都是希尔伯特空间——只有维数无穷时这个概念才变得有趣。

需要带在身上的一个警告：许多舒适的有限维事实都暗中要求子空间是闭的。一个仅在代数意义上的子空间可以是稠密的（它的闭包是整个空间）却又不等于整个空间，对它的投影可能根本不存在。在无穷维中，伸手去用正交补或投影之前，你必须先问这个子空间是不是闭的。