无界算子

物理学中最重要的算子——微分、量子力学的动量与能量算子——都不是有界的，也无法被改造成有界的。对一个函数求导可以无限地放大它：在 d/dx 之下，高频抖动变得越来越陡，比值 ||T f|| / ||f|| 没有上限。无界算子就是没有有限算子范数的算子。你付出的代价是：它无法定义在整个空间上；你必须追踪它的定义域。

精确地说：希尔伯特空间 H 上的无界算子 T 是定义在定义域 D(T) 上的线性映射，D(T) 是 H 的稠密线性子空间，且没有常数 C 能界住 ||T x|| <= C ||x||。定义域的稠密性是本质的——正是它使伴随得以定义。这类算子通常是闭的（其图像是闭的）而非连续的，闭性是这一情形下有界性的恰当替代。

为什么定义域不是技术细节：同一个公式但不同定义域给出的两个算子，是真正不同的算子，有不同的谱与不同的伴随。d/dx 是否自伴，完全取决于烘焙进其定义域的边界条件。对无界算子，自伴（T^* = T，包括定义域相等）严格强于对称（在定义域上 <T x, y> = <x, T y>），而只有自伴的算子才生成量子力学的酉时间演化。

为什么重要：斯通定理和谱定理都推广到无界自伴算子，这恰是量子力学所需——位置、动量、哈密顿算子都是无界且自伴的，它们的实谱就是可能的测量值。严格地处理它们，正是定义域、闭性与自伴性被如此认真对待的原因。