有界算子的伴随

伴随推广了矩阵的共轭转置，但它的定义从不需要选坐标——完全通过内积给出。伴随 T^* 是让你把 T 从内积的一侧搬到另一侧的算子。它是分类算子最重要的构造，因为熟悉的有限维家族（自伴、酉、正规）原封不动地搬了过来。

精确地说：对希尔伯特空间 H 上的有界算子 T，伴随 T^* 是满足对所有 x, y in H 都有 <T x, y> = <x, T^* y> 的唯一有界算子。它的存在与唯一性由里斯表示定理保证。关键性质：(S T)^* = T^* S^*、(T^*)^* = T、||T^*|| = ||T||，以及 C* 恒等式 ||T^* T|| = ||T||^2。

为什么有限维的词汇存活下来：当 T^* = T 时 T 是自伴的（对称或厄米矩阵的类比）；当 T^* T = T T^* = I 时 T 是酉的（正交或酉矩阵的类比，一个保内积的双射）；当 T^* T = T T^* 时 T 是正规的（与其伴随交换）。这些类恰好拥有你所期望的谱性质：自伴算子的谱为实，酉算子的谱落在单位圆上。

一个留待以后的微妙之处：对有界算子一切都干净利落。对无界算子，伴随要精细得多——必须确定它的定义域，而自伴性成为比单纯对称严格更强的条件。但在有界的世界里，伴随的行为恰如你早已信任的共轭转置。