里斯表示（希尔伯特）

线性泛函是一条规则，它取一个向量、线性地返回一个数。在 R^n 中，每条这样的规则不过是与某个固定向量做点积——那个向量就是它的梯度。里斯表示定理说，无论维数多么无穷，这在任何希尔伯特空间中都精确成立：每个连续线性泛函暗地里都是与某个固定向量的内积。没有更一般的东西潜伏其中。

精确地说：设 H 是希尔伯特空间，phi 是 H 上的有界（连续）线性泛函。则存在唯一的向量 y in H，使得对所有 x 都有 phi(x) = <x, y>，而且这个泛函的范数等于 ||y||。映射 phi -> y 是从对偶空间到 H 自身的双射，它是共轭线性且保范数的。

为什么如此意义重大：它把希尔伯特空间的对偶等同于空间自身。一般的巴拿赫空间与它的对偶可以是大不相同的对象，而希尔伯特空间在一个共轭的意义下就是它自己的对偶——希尔伯特空间以最强的方式自反。这种自对偶正是希尔伯特空间几何如此对称、比一般巴拿赫空间理论容易得多的原因。

为什么它驱动其余的算子理论：里斯表示正是让你定义伴随 T^* 的工具——你把它用在泛函 x -> <T x, y> 上，从而造出向量 T^* y。它还支撑微分方程的弱形式（拉克斯-米尔格拉姆），以及现代机器学习中所用的整套再生核希尔伯特空间机制。