谱（无穷维）

在有限维中，特征值是任何使 T - lambda I 不可逆的 lambda，而不可逆恰好意味着存在特征向量。在无穷维中这两件事分了家。谱保留了正确的定义——它是使 T - lambda I 不可逆的 lambda 的集合——但如今不可逆的原因可以与是否存在特征向量毫无关系。谱确实比特征值集合更丰富。

精确地说：对巴拿赫空间上的有界算子 T，谱 sigma(T) 是使 T - lambda I 没有有界逆的复数 lambda 的集合。它的补集即预解集，是 (T - lambda I)^-1 存在且有界之处。谱总是复平面中非空的紧子集，且落在圆盘 |lambda| <= ||T|| 内。与矩阵不同，一个算子未必有任何一个特征值，然而它的谱绝不为空。

为什么不可逆可以没有特征向量：T - lambda I 可能是单射的（没有特征向量）却不满射，或其值域稠密但不闭，于是其逆只在一个真子集或非闭子集上存在且无界。这些失效在有限维中看不见，因为那里单射迫使满射。它们正是谱分裂为点谱、连续谱与剩余谱三部分的原因。

为什么重要：谱是特征值列表真正的无穷维替代品。它控制稳定性、算子幂级数与求逆的诺伊曼级数的收敛，以及函数演算 f(T)。谱半径 sup{|lambda| : lambda in sigma(T)} 等于 lim ||T^n||^(1/n)，把谱的几何与算子各次幂的增长联系起来。