点谱/连续谱/剩余谱

在有限维中，T - lambda I 要么可逆要么不可逆，而“不可逆”意味着存在特征向量——一种干净的失效方式。在无穷维中，T - lambda I 不可逆有三种不同方式，它们把谱切成三个有名字的部分。其中只有一个，即点谱，对应真正的特征值；另外两个是没有有限维影子的新现象。

精确地说，lambda 落在谱中并恰好归入某一部分。点谱：T - lambda I 不是单射，因而存在真正的特征向量——这就是特征值。连续谱：T - lambda I 是单射且值域稠密，但值域不是整个空间，逆无界。剩余谱：T - lambda I 是单射，但其值域甚至不稠密。这三部分合起来穷尽了谱。

每部分的感觉：点谱是熟悉的特征值情形，你能用非零的 v 解 T v = lambda v。连续谱是“近似特征值”情形——存在近似特征向量，即满足 ||(T - lambda I) u_n|| -> 0 的单位向量 u_n，却没有精确的特征向量。剩余谱标志一种不对称，它常常在过渡到伴随算子时消失，在那里往往以点谱的形式出现。

为什么这个分类重要：它解释了一个算子如何能有很大的谱却根本没有特征值。对自伴算子和正规算子，剩余谱为空且谱为实——这正是量子可观测量表现良好的原因：它们的连续谱刻画散射态，而它们的点谱给出具有锐利能级的束缚态。