线性不交扩张

一个域的两个扩张称为线性不交的，当它们除基域之外不共享任何隐藏的代数关系——它们是“独立的方向”。于是把它们合并既不损失什么也不重复什么：维数直接相乘，正如独立向量空间之积的维数是各维数之积。

形式地说，设 L 与 M 是 K 的两个扩张，位于一个公共域内。称它们在 K 上线性不交，若 L 的任一 K-基在 M 上仍线性无关（等价地，自然映射 L tensor_K M -> LM 是单射，从而把张量积与合成域等同）。对有限扩张，一个干净的推论是次数公式 [LM : K] = [L : K] 乘以 [M : K]；事实上，在适当的可分性假设下，对有限扩张而言线性不交等价于次数恰好相乘。

一个有用的充分条件：若 L/K 是伽罗瓦的，M/K 是同一闭包内的任意扩张，则 L 与 M 在 K 上线性不交当且仅当 L cap M = K，此时 Gal(LM/M) 通过限制同构于 Gal(L/K)。需注意：对一般（非伽罗瓦）扩张，仅有 L cap M = K 不足以迫使线性不交——立方根的例子（两个非伽罗瓦的三次域可在 Q 中相交却无法干净地相乘次数）是标准的告诫。