逆伽罗瓦问题

伽罗瓦理论从每个多项式中交给你一个群。逆伽罗瓦问题把箭头反转过来，问道：从一个抽象有限群出发，是否总能找到有理数上的某个多项式，其对称恰好就是那个群？令人惊讶的是，尽管经过了一个半世纪的努力，没有人知道答案是否总是肯定的。

精确陈述：逆伽罗瓦问题问，是否每个有限群 G 都作为有理数的某个有限伽罗瓦扩张 L 的伽罗瓦群 Gal(L/Q) 出现。这一问题一般而言尚未解决。已知它对许多类群有肯定答案：所有可解群（沙法列维奇定理）、所有对称群与交错群，以及 26 个零散单群中的 25 个（写作之时著名的例外是马蒂厄群 M_23）。

一个主要工具是刚性以及赫尔维茨空间理论：先在函数域 Q(t) 上实现 G，再令 t 特殊化（常借助希尔伯特不可约性定理）以下降到 Q。需要小心——在其他基域上的类似问题表现可能大不相同；例如在有理函数域 C(t) 上每个有限群都是伽罗瓦群，所以真正的困难在于 Q 的算术，而非单纯的群论。